Teorias que atribuem a ocorrência de coincidências a alguma força externa sempre foram encaradas com ceticismo. À luz do conhecimento que temos sobre teoria de probabilidades e estatística, a inegável ocorrência de eventos extraordinariamente surpreendentes pode, geralmente, ser explicada pela combinação de três fenômenos principais.
Por Fernando Martins Antoneli Junior
Uma pergunta intrigante é por que a noção de probabilidade se consolidou apenas recentemente, apesar de diversos registros históricos mostrarem que, há pelo menos 5 mil anos, pessoas de diversas culturas – de Grécia e Roma à Mongólia – apostavam no lançamento de ossinhos ou os utilizavam para adivinhar a sorte? Durante séculos enormes quantias de dinheiro certamente foram apostadas nos resultados de pequenos objetos atirados no chão ou sobre uma mesa e ninguém parece ter adotado uma abordagem analítica e imparcial sobre o que estava acontecendo até o século XVI.
Isso mudou por volta de 1550, quando Gerolamo Cardano (que ganhou e perdeu muito dinheiro apostando) decidiu reunir sua sabedoria acumulada no livro Liber de ludo alae (O livro dos jogos de azar). Em capítulos curtos, ele aborda maneiras de trapacear (‘é da maior vantagem ter seus próprios apoiadores se você deseja vencer injustamente’), o papel da sorte e a diferença entre cartas e dados. Mas sua fama se baseia em ser a primeira pessoa registrada a observar que a simetria dos dados significa que os números devem ter a mesma chance de aparecer – e ao se concentrar na enumeração de todas as possibilidades, Cardano chegou muito perto de uma definição operacional de probabilidade. Desde então as ideias propostas por ele foram aperfeiçoadas e refinadas e hoje compõem uma área do conhecimento bastante madura, chamada teoria de probabilidades.
Voltando à pergunta inicial, houve muitas possíveis explicações para essa peculiaridade histórica. Mas seja qual for o motivo, a própria ideia de probabilidades numéricas simplesmente não era considerada. Quando levamos em conta o conhecimento acumulado pela moderna teoria de probabilidades, pode-se imaginar que isso seria até esperado. Hoje sabemos que a noção de probabilidade é bastante anti-intuitiva e elusiva, na qual observação e medição direta são impossíveis. Além disso, ela pode ter uma natureza dupla: (1) como uma medida de incerteza epistêmica, expressando um grau razoável de crença sobre o que poderia ser conhecido, mas não é; (2) como uma medida de aleatoriedade futura ou chance sobre eventos que ainda não foram decididos.
É claro que foi por meio do segundo caminho que ocorreram os primeiros avanços, quando os jogadores finalmente começaram a analisar os jogos nos quais apostavam tanto dinheiro. Por outro lado, é a primeira interpretação que nos permite aplicar a teoria de probabilidades em campos tão diversos como ciências naturais, ciências humanas, engenharia, medicina etc. Por meio das ciências estatísticas a noção de probabilidade permeia, muitas vezes de forma invisível, todas as atividades humanas no mundo moderno. Perguntas como, ‘qual a chance de chover amanhã à tarde?’, ‘qual a chance de o time de futebol X ganhar o jogo hoje à noite?’, ‘qual a chance de o candidato Y ganhar as eleições deste ano?’ só são possíveis de serem tratadas quando se considera probabilidade com uma medida de incerteza epistêmica.
Em seu mais recente livro intitulado A arte da incerteza – como lidar com acaso, ignorância, risco e sorte [Alta Cult Editora, 2026], o estatístico e popularizador de ciência David Spiegelhalter define ‘incerteza’ como sendo ‘consciência da própria ignorância’. Tomando como ponto de partida esta interpretação, e definindo probabilidade como sendo uma quantificação subjetiva da incerteza pessoal, ele mostra como conceitos fundamentais da estatística e da teoria de probabilidades permeiam o cotidiano nas sociedades modernas.
Uma questão importante se põe quando escolhemos esse caminho: se aceitarmos que as probabilidades são construídas com base em julgamentos pessoais, será que isso significa que qualquer número serve, desde que obedeça às regras estabelecidas na teoria de probabilidades? E é aqui que entra o mundo objetivo ou mundo exterior na avaliação das probabilidades quando confrontadas com a realidade, por exemplo, por meio de uma ‘regra de pontuação’ adequada.
Uma vez que adotamos a definição de incerteza como sendo a ‘consciência da própria ignorância’, podemos usar a teoria de probabilidades para traduzir em números a nossa incerteza consciente a respeito de eventos. Contudo, na maior parte da vida, não estamos tão conscientes assim, seguimos sem refletir sobre todas as possibilidades que poderiam ocorrer, ajustando nosso comportamento para manter o rumo pretendido. Mas, de tempos em tempos, somos despertados de nossa complacência por um evento surpreendente. Pode ser um infortúnio inesperado ou uma conjunção de eventos, benigna e fortuita, frequentemente chamada de coincidência, que puxa nossa incerteza de volta para o campo da consciência. Acidentes ou desastres podem chocar ou causar danos, mas a maioria das coincidências é inofensiva e nos faz sorrir. Elas podem ser consideradas como sendo o ‘lado positivo’ da incerteza.
No clássico artigo “Methods for studying coincidences” [J. Amer. Stat. Assoc., Vol. 84, No. 408 (1989)], os estatísticos Persi Diaconis e Frederick Mosteller propuseram a seguinte definição: coincidência é uma ocorrência surpreendente de eventos percebidos como significativamente relacionados, sem qualquer conexão causal aparente. Isso engloba três elementos necessários: (1) o evento envolve uma conexão inesperada; (2) ele se destaca das circunstâncias cotidianas e chama nossa atenção a ponto de, em algumas vezes, nos lembrarmos dele pelo resto de nossas vidas; (3) não há explicação imediata para o motivo de ter ocorrido embora, como veremos mais adiante, existam muitas teorias sobre por que tais eventos acontecem. A definição busca capturar o sentido de coincidência tal como é empregado na linguagem comum. É claro que a subjetividade do observador se manifesta nos termos ‘surpreendente’, ‘percebido’, ‘significativo’ e ‘aparente’.
Dentre os casos mais comuns de coincidências que as pessoas relatam estão encontrar um elo com alguém conhecido como, por exemplo, dois desconhecidos que conversam em um lugar longe de onde moram e descobrem que ambos têm algum parente trabalhando na mesma empresa. Ou encontrar alguém conhecido em um lugar improvável (que mundo pequeno!). Também o reaparecimento de um objeto que era dado como perdido, quando se estava fazendo outra coisa totalmente não relacionada com o objeto.
Do ponto de vista acadêmico, o biólogo Paul Kammerer e o psiquiatra C. G. Jung estudaram, no início do século 20, de forma independente, a noção de coincidência e tentaram desenvolver teorias subjacentes. Jung escreveu um livro intitulado Sincronicidade: um princípio de conexões acausais [Editora Vozes, 2014]. A definição de Diaconis e Mosteller aproxima-se da apresentada por Jung, que se dedicou profundamente ao estudo das coincidências. Jung argumentou que coincidências significativas ocorrem com frequência muito superior àquela que o acaso permitiria. Para explicar esse fenômeno, ele propôs a noção de sincronicidade como sendo ‘um fator hipotético, de status equivalente à causalidade, como princípio explicativo’. As ideias de Jung capturaram a imaginação popular, e o termo sincronicidade tornou-se um sinônimo comum para coincidência.
Paul Kammerer realizou os primeiros estudos observacionais sobre coincidências e sumarizou os resultados no livro The law of seriality: a theory of recurrences in daily life and world events [Bulkeley 2024; sem tradução para português] no qual desenvolveu a ideia de serialidade, afirmando que, “lado a lado com a causalidade da física clássica, existe no universo um segundo princípio fundamental que tende à unidade; uma força de atração comparável à gravitação universal”. Arthur Koestler, no livro The case of the midwife toad [Hutchinson,1971; sem tradução para português] relata a traumática trajetória profissional de Kammerer, incluindo a pesquisa sobre coincidências.
Estas teorias que atribuem a ocorrência de coincidências a alguma força externa sempre foram encaradas com ceticismo. À luz do conhecimento que temos sobre teoria de probabilidades e estatística, a inegável ocorrência de eventos extraordinariamente surpreendentes pode, geralmente, ser explicada pela combinação de três fenômenos principais. A “lei dos números realmente grandes” afirma que, se houver um número suficientemente elevado de oportunidades, até mesmo eventos raríssimos acabarão acontecendo. A seletividade ou viés da memória humana, isto é, a tendência de lembrar apenas eventos marcantes que ocorreram, ignorando todas as previsões, sonhos e premonições irrelevantes que não se concretizaram. Finalmente, a própria escolha de narrativa pode tornar o evento mais surpreendente do que realmente foi.
A teoria de probabilidades entra nesta discussão pela ‘Lei dos números realmente grandes’, que afirma que coincidências ocorrem porque existem muitas oportunidades para que aconteçam, o que pode fazer com que surpresas surjam com frequência muito maior do que o senso comum sugere. Um exemplo clássico, publicado pela primeira vez pelo matemático austríaco Richard von Mises em 1939, é o chamado ‘paradoxo dos aniversários’. Ele afirma que, em grupos de 23 pessoas escolhidas ao acaso, em pelo menos metade dos casos haverá, no mínimo, um par de pessoas que fazem aniversário no mesmo dia do ano. Este é exemplo de um ‘problema de correspondência’: temos um grupo de pessoas, ou objetos, e queremos determinar a probabilidade de que pelo menos um par compartilhe uma característica específica.
Para calcular a probabilidade de haver uma correspondência, há um truque que funciona surpreendentemente bem: calcule a probabilidade de não haver nenhuma correspondência, isto é, a situação em que todos os elementos são diferentes entre si, e depois subtraia esse valor de 1. Para obter essa probabilidade, podemos realizar um cálculo exato bastante complexo ou utilizar um atalho engenhoso. O cálculo exato pode ser encontrado na internet, como por exemplo em [Birthday Problem – Wikipedia]. O atalho engenhoso se baseia na seguinte regra: suponha um contexto no qual existam muitas oportunidades para a ocorrência de um determinado tipo de evento raro; então, se esperamos, em média, a ocorrência de m eventos raros, a probabilidade de que nenhum deles ocorra é e–m. Aqui, e = 2,718…, às vezes chamado de ‘constante de Euler’, outras vezes chamado de ‘constante de Napier’, e tem um papel fundamental em toda matemática.
Voltando ao problema dos aniversários, vamos usar a regra acima para mostrar que existe uma probabilidade superior a 0,5 de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia em um grupo de 23 indivíduos. Se considerarmos qualquer par de pessoas em um grupo de 23, há uma probabilidade de 1/365 de que elas compartilhem a mesma data de aniversário. Contudo, existem muitas combinações possíveis, mais precisamente, C23,2 = (23×22)/2 = 253; esse é o número de apertos de mão necessários caso cada pessoa cumprimentasse todas as outras. Aqui, Cn,2 = (n×(n–1))/2 e usamos n = 23. Portanto, há 253 oportunidades para que ocorra uma coincidência, cada uma com probabilidade de 1/365; assim, o número esperado, ou médio, de coincidências é m = 253/365 = 0,693. Utilizando a regra mencionada anteriormente, uma calculadora (qualquer celular hoje possui uma!) revela que a probabilidade aproximada de não haver nenhuma coincidência é e–0,693 = 0,499. Dessa forma, essa aproximação simples conduz ao resultado correto: existe uma probabilidade de aproximadamente 1 – 0,499 = 0,501 de que duas pessoas compartilhem a mesma data de aniversário. Pode-se usar o mesmo método para calcular a probabilidade de coincidência de aniversários para um grupo com um número n de indivíduos. Com 57 pessoas a chance de coincidência de aniversários já é maior que 99%.
Aqui é importante enfatizar que, se for considerada uma data específica, por exemplo, o aniversário do dono da casa, a situação muda completamente. Isso porque, nesse caso, não se procura simplesmente uma coincidência de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia, e sim de pessoas que fazem aniversário em uma data específica. Essa aparentemente inócua mudança na formulação do problema tem consequências drásticas: para uma data de aniversário específica o grupo tem que ter 253 pessoas para que a chance de uma coincidência seja menor ou igual a 50% (para detalhes veja [Birthday Problem – Wikipedia]).
Outra observação importante, que pode ter ocorrido aos mais detalhistas, é que fizemos duas suposições para facilitar os cálculos. A primeira é que não consideramos anos bissextos, isto é, todos os anos têm 365 dias. A segunda é que todos os dias do ano têm a mesma probabilidade de ser um possível aniversário. A primeira é inócua e a segunda é falsa! Isso pode ser facilmente verificado por dados provenientes de diferentes países e em diferentes épocas. Em princípio, esta não-uniformidade da distribuição de nascimentos ao longo de um ano poderia comprometer a aproximação que usamos anteriormente. No artigo “The birthday problem” [Significance, 4 (2007) 124-127], Mario Cortina Borja e John Haigh, investigaram o efeito da não-uniformidade da distribuição de nascimentos no cálculo de coincidência de aniversários. Utilizando uma fórmula recursiva eles calcularam o quanto a resposta varia em função da não-uniformidade da distribuição de nascimentos e assim concluíram que a suposição de uniformidade não afeta a resposta obtida via aproximação que mostramos anteriormente.
Coincidentemente (!), as seleções da Copa do Mundo de Futebol são compostas exatamente por 23 jogadores (20 de linha e 3 goleiros), então os torneios (masculinos ou femininos) mais recentes proporcionam 32 amostras de grupos de 23 pessoas (com exceção da última Copa do Mundo masculina que teve 48 seleções). De acordo com o ‘paradoxo dos aniversários’, metade das seleções deve ter um par de jogadores que fazem aniversário no mesmo dia, ou seja 16 seleções. Por exemplo, usando as datas de aniversário da lista oficial de convocados da Fifa, James Fletcher [The birthday paradox at the World Cup], descobriu que das 32 seleções que disputaram a Copa do Mundo masculina de 2014, no Brasil, 16 tinham pelo menos uma data de aniversário em comum, sendo que 5 delas tinham 2 datas de aniversário em comum. De forma análoga, Kit Yates [The unexpected maths problem at work during the Women’s World Cup], descobriu que das 32 seleções que disputaram a Copa do Mundo feminina de 2023, na Austrália, 17 seleções tinham pelo menos uma data de aniversário em comum, sendo que 3 delas tinham 2 datas de aniversário em comum e 2 delas tinham 3 em comum.
Além de nos divertir e maravilhar, as coincidências também são importantes nas ciências, podendo ter consequências profundas na vida das pessoas. Por exemplo, provas de DNA são hoje amplamente utilizadas para ligar suspeitos aos locais do crime. Elas podem determinar tanto a culpa quanto a inocência e transformaram a ciência forense. Porém, pode haver preocupação se as probabilidades associadas aos perfis de DNA estão incorretas e, portanto, colocam em risco a segurança das condenações. Em 2001, pesquisadores do laboratório de DNA do Departamento de Segurança Pública do Arizona fizeram uma apresentação em um encontro científico sobre identificação humana. Eles relataram uma curiosidade: o banco de dados de DNA, com cerca de 65 mil indivíduos, utilizado pela polícia do Arizona, continha um número alarmante de pessoas (122) sem qualquer relação entre si, apresentando perfis de DNA quase idênticos, levando muitos a questionar se era seguro usar o DNA para condenar um suspeito.
É claro que o problema de determinar a probabilidade de correspondência entre duas entradas no banco de perfis de DNA é o mesmo que coincidências de aniversários. O número de pares obtidos a partir das cerca de 65 mil amostras no banco de dados do Arizona resulta em cerca de 2 bilhões de pares únicos de amostras. Com uma correspondência a cada 31 milhões de pares de perfis não relacionados, obtemos o número esperado m = 68 de correspondências parciais. A diferença entre as 68 correspondências esperadas e as 122 encontradas pode ser facilmente explicada pelos perfis de parentes próximos no banco de dados. Os perfis de parentes têm probabilidade significativamente maior de apresentar correspondência parcial do que os de indivíduos não relacionados, veja os detalhes em [J. Curran, “Are DNA profiles as rare as we think? Or can we trust DNA statistics?”, Significance, 7 (2010) 62-66]. Portanto, a solução de um problema de coincidências mostra que as descobertas sobre o banco de dados do Departamento de Segurança Pública do Arizona, em vez de abalar nossa confiança nas evidências de DNA, confirmam o que os modelos estatísticos e genéticos predizem.
Fernando Martins Antoneli Junior é professor de matemática aplicada e biologia computacional (EPM-Unifesp). fernando.antoneli@unifesp.br